几何画板解析2017年山西中考倒二(几何背景)
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2017年山西中考倒二(几何背景)
综合与实践
背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15或
实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明.
(3)请在图4中证明△AEN是(3,4,5)型三角形.
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
图文解析:
(1)如下图示,由矩形(ABCD)的性质可得:∠D=∠DAE=90°,由对称(折叠)知:∠AEF=∠D=90°,且AD=AE,所以四边形AEFD是正方形.
(2)连接HN,如下图示:
不难证得∠1=∠2=90°,得到△HND’和△HNF是直角三角形.
同时由对折(对称)知DH=D’H=FH,又HN=HN是公共边,所以Rt△HND’≌Rt△HNF,得到NF=ND′.
(注:本题在书写时,务必先回答,再证明)
(3)设NF=ND′=x,如下图示,
在Rt△AEN中,由勾股定理,得:82+(8-x)2=(8+x)2,解得x=2.则EN=6,AN=10,得到EN:AE:AN=3:4:5,因此△AEN是(3,4,5)型三角形.
(4)根据相似三角形性质(相似三角形的对应比相等)及“(3,4,5)型三角形的定义”,结合△AEN为(3,4,5)型三角形,可知:凡是与△AEN相似的三角形均是(3,4,5)型三角形.如下图示:
∴△MFN,△MD’ H,△MDA均符合.
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