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几何画板解析2017年山西中考倒二(几何背景)

2017-07-30 永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂

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2017年山西中考倒二(几何背景)



综合与实践

背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为345的三角形称为(345)型三角形.例如:三边长分别为91215的三角形就是(345)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.

实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cmAB=12cm

第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.

第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF

第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△ADH,再沿AD′折叠,折痕为AMAM与折痕EF交于点N,然后展平.



问题解决

1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.

2)请在图4中判断NFND′的数量关系,并加以证明.

3)请在图4中证明△AEN是(345)型三角形.

探索发现

4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(345)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.


图文解析:

(1)如下图示,由矩形(ABCD)的性质可得:∠D=∠DAE=90°,由对称(折叠)知:∠AEF=∠D=90°,且AD=AE,所以四边形AEFD是正方形.


(2)连接HN,如下图示:


不难证得∠1=∠2=90°,得到△HND’和△HNF是直角三角形.

同时由对折(对称)知DH=D’H=FH,又HN=HN是公共边,所以Rt△HND’≌Rt△HNF,得到NFND′.

(注:本题在书写时,务必先回答,再证明)


(3)设NFND′=x,如下图示,


在Rt△AEN中,由勾股定理,得:82+(8-x)2=(8+x)2,解得x=2.则EN=6,AN=10,得到EN:AE:AN=3:4:5,因此△AEN是(345)型三角形.

(4)根据相似三角形性质(相似三角形的对应比相等)及“(345)型三角形的定义”,结合△AEN为(345)型三角形,可知:凡是与△AEN相似的三角形均是(345)型三角形.如下图示:

∴△MFN,△MD’ H,△MDA均符合


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